«Главная   ›  Справочник по планиметрии   ›  Углы   ›  Углы, связанные с окружностью

Углы, связанные с окружностью


Определение центрального угла

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^{\circ}; 360^{\circ}]\).

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).

$$ \overset{\smile}{AB}=\angle AOB $$

Определение вписанного угла

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле

Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол, опирающийся на диаметр

Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

\( \angle{ACB}=90^{\circ} \Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

$$ \angle{AC_1B}=\angle{AC_2B} $$

Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки \(C_1\) и \(C_2\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\) и \( \angle{AC_1B}=\angle{AC_2B} \), то \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности.

\( \angle{AC_1B} = \angle{AC_2B} \Rightarrow \) \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности

Свойство вписанного четырёхуольника

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^{\circ}\).

\(ABCD\) – вписанный \( \Rightarrow \angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \)

Признак вписанного четырёхуольника

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник вписанный.

\(\angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный

Внешний угол вписанного четырёхуольника

Внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине четырёхугольника.

$$ \angle{EDC} = \angle{ABC} $$

Угол, образованный хордами

Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательной и хордой

Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой

Если вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой, высекают на окружности одну и ту же дугу, то они равны.

$$ \angle{ACB} = \angle{DAB} $$

Угол с вершиной на окружности

Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной в круге

Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)

Угол, образованный секущими

Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательными

Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right) $$

Угол, образованный касательной и секущей

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной вне круга

Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)