Углы, связанные с окружностью
❒ Определение центрального угла
❒ Определение градусной меры дуги окружности
❒ Определение вписанного угла
❒ Теорема о вписанном угле
❒ Угол, опирающийся на диаметр
❒ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
❒ Условие принадлежности четырёх точек одной окружности
❒ Свойство вписанного четырёхуольника
❒ Признак вписанного четырёхуольника
❒ Внешний угол вписанного четырёхуольника
❒ Угол, образованный хордами
❒ Угол, образованный касательной и хордой
❒ Вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой
❒ Угол с вершиной на окружности
❒ Угол с вершиной в круге
❒ Угол, образованный секущими
❒ Угол, образованный касательными
❒ Угол, образованный касательной и секущей
❒ Признак касания прямой и окружности
❒ Угол с вершиной вне круга
Определение центрального угла
Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.
Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^{\circ}; 360^{\circ}]\).
Определение градусной меры дуги окружности
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).
$$ \overset{\smile}{AB}=\angle AOB $$
Определение вписанного угла
Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.
Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).
Теорема о вписанном угле
Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.
$$ \alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$
Угол, опирающийся на диаметр
Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.
\( \angle{ACB}=90^{\circ} \Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
$$ \angle{AC_1B}=\angle{AC_2B} $$
Условие принадлежности четырёх точек одной окружности
Если точки \(C_1\) и \(C_2\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\) и \( \angle{AC_1B}=\angle{AC_2B} \), то \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности.
\( \angle{AC_1B} = \angle{AC_2B} \Rightarrow \) \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности
Свойство вписанного четырёхуольника
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^{\circ}\).
\(ABCD\) – вписанный \( \Rightarrow \angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \)
Признак вписанного четырёхуольника
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник вписанный.
\(\angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный
Внешний угол вписанного четырёхуольника
Внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине четырёхугольника.
$$ \angle{EDC} = \angle{ABC} $$
Угол, образованный хордами
Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.
$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right) $$
Угол, образованный касательной и хордой
Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.
$$ \alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$
Вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой
Если вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой, высекают на окружности одну и ту же дугу, то они равны.
$$ \angle{ACB} = \angle{DAB} $$
Угол с вершиной на окружности
Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.
$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right) $$
Угол с вершиной в круге
Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.
\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)
Угол, образованный секущими
Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.
$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right)
$$
Угол, образованный касательными
Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.
$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right)
$$
Угол, образованный касательной и секущей
Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.
$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right)
$$
Признак касания прямой и окружности
Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.
$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right)
$$
Угол с вершиной вне круга
Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.
\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)