Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и лежащий на биссектрисе угла треугольника.
AL – биссектриса треугольника ABC
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром окружности, вписанной в треугольник.
\(I\) – точка пересечения биссектрис
Отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих к этим отрезкам сторон треугольника.
$$ \frac{BL}{CL}=\frac{AB}{AC} $$
\(l_a=\sqrt{b\,c-b_1c_1}, \quad \) где
$$ b_1=\frac{ab}{b+c}, \quad c_1=\frac{ac}{b+c} $$
Биссектриса угла, вписанного в окружность, делит пополам дугу, на которую он опирается. Хорды, стягиваемые дугами, которые стороны данного угла и его биссектриса высекают на окружности, также равны.
$$ \overset{\smile}{BW}=\overset{\smile}{CW}, \quad BW=CW $$
Пусть биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность этого треугольника в точке \(W\), и пусть \(I\) – центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Тогда \(WB=WC=WI\). При этом \(AI\cdot WI =2Rr\), где \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника \(ABC\) соответственно.
При обозначениях, показанных на рисунке (\(m=CW\)),
$$\triangle{ACW} \backsim \triangle{DCB} \backsim \triangle{DAW},$$ $$\triangle{BCW} \backsim \triangle{DCA} \backsim \triangle{DBW}.$$ Кроме того, справедливы равенства: $$ \frac{a_1}{b_1}=\frac{a}{b}; \quad l^2=ab-a_1b_1; $$ $$ lk=a_1b_1; \quad d^2=km; \quad lm=ab; $$ $$ l+k=m; \quad a_1+b_1=c. $$