«Главная   ›  Справочник по планиметрии   ›  Векторы   ›  Скалярное произведение векторов   ›  Свойства скалярного произведения»

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов \(\overline{a}\), \(\overline{b}\), \(\overline{c}\) и любого числа \(\lambda\):
   1. \(\overline{a}\cdot \overline{b}=\overline{b}\cdot \overline{a}\);
   2. \(\overline{a}\cdot (\overline{b}\pm\overline{c})=\overline{a}\cdot \overline{b}\pm\ \overline{a}\cdot\overline{c},\)
       \((\overline{b}\pm\overline{c})\cdot\overline{a}=\overline{b}\cdot\overline{a}\pm\overline{c}\cdot\overline{a}\);
   3. \((\lambda\overline{a})\cdot \overline{b}=\overline{a}\cdot (\lambda\overline{b})=\lambda\, (\overline{a}\cdot \overline{b})\);
   4. \({\overline{a}}^{\, 2} \geq 0\), причём \({\overline{a}}^{\, 2}=0 \, \Leftrightarrow \, \overline{a}=\overline{0}\quad\)
      (здесь \({\overline{a}}^{\, 2}=\overline{a}\cdot \overline{a}\));
   5. \(\sqrt{\overline{a}^{2}}=|\overline{a}|\);
   6. \(|\overline{a}\cdot\overline{b}|\leq|\overline{a}|\,|\overline{b}|\), причём \(|\overline{a}\cdot\overline{b}|=|\overline{a}|\,|\overline{b}| \Leftrightarrow \overline{a}||\overline{b}\)
      (неравенство Коши-Буняковского).