Формулы для элементов треугольника
❒ Обозначения
❒ Теорема синусов
❒ Теорема косинусов
❒ Косинусы углов треугольника
❒ Длины медиан треугольника
❒ Длины биссектрис треугольника
❒ Длины высот треугольника
❒ Формулы для площади треугольника
❒ Радиус описанной окружности треугольника
❒ Радиус вписанной окружности треугольника
Обозначения
\( a, b, c\) – длины сторон треугольника;
\( A, B, C\) – величины углов треугольника;
\( m_a, m_b, m_c\) – длины медиан треугольника
(на рисунке \( m_a=AM \) );
\( l_a, l_b, l_c\) – длины биссектрис треугольника
(на рисунке \( l_a=AL \) );
\( h_a, h_b, h_c\) – длины высот треугольника
(на рисунке \( h_a=AH \) );
\( R\) – радиус описанной окружности;
\( r\) – радиус вписанной окружности;
\( S\) – площадь треугольника;
\( p=\frac{a+b+c}{2}\) – полупериметр треугольника;
Теорема косинусов
\( a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \)
\( b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \)
\( c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \)
Косинусы углов треугольника
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
$$ \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} $$
$$ \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $$
Длины медиан треугольника
$$ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} $$
$$ m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2} $$
$$ m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} $$
Длины биссектрис треугольника
$$ l_a = \frac{2\sqrt{bc\,p(p-a)}}{b+c} $$
$$ l_b = \frac{2\sqrt{ac\,p(p-b)}}{a+c} $$
$$ l_c = \frac{2\sqrt{ab\,p(p-c)}}{a+b} $$
Длины высот треугольника
$$ h_a = \frac{2S}{a}, \quad h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c} $$
Формулы для площади треугольника
$$ S=\frac{1}{2}ah_a, \quad S=\frac{1}{2}bh_b, \quad S=\frac{1}{2}ch_c; $$ $$ S=\frac{1}{2}ab\sin C, \quad S=\frac{1}{2}ac\sin B, \quad S=\frac{1}{2}bc\sin A; $$ $$ S=pr; \quad S=\frac{abc}{4R}; $$ \( S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad \) (формула Герона)
Радиус описанной окружности треугольника
$$ R=\frac{a}{2\sin A}, \quad R=\frac{b}{2\sin B}, \quad R=\frac{c}{2\sin C}; $$ $$ R=\frac{abc}{4S} $$