Углом называется геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с общей вершиной. Лучи при этом называются сторонами угла, а их общая вершина – вершиной данного угла.

Угол называется развёрнутым, если его стороны являются дополнительными друг к другу лучами, то есть лежат на одной прямой с разных сторон от вершины угла. Если же стороны угла совпадают, то этот угол называется нулевым.

Развёрнутый угол		Нулевой угол

Пусть точка \(C\) лежит на некотором отрезке с концами на разлиных сторонах ненулевого и не развёрнутого угла \(AOB\). Тогда говорят, что \(C\) является внутренней точкой угла \(AOB\). Все внутренние точки образуют внутреннюю облсать угла \(AOB\).

Нулевой угол не имеет внутренней области. Для развёрнутого угла кадую из двух областей, на которые его стороны разбивают плоскость, можно назвать внутренней. При этом должно быть указано, какая из областей считается внутренней областью развёрнутого угла.

Внутренняя область неразвёрнутого угла		Случай развёрнутого угла

Говорят, что луч проходит между сторонами угла, если его вершина совпадает с вершиной этого угла, а все остальные точки принадлежат внутренней области угла.

Луч \(OC\) проходит между сторонами угла \(AOB\)

Биссектрисой угла называется луч, проходящий между его сторонами и делящий этот угол на два равных угла.

\(OC\) – биссектриса угла \(AOB\)

Каждый угол имеет определённую градусную меру, которая представляет собой число из отрезка \([0^{\circ};180^{\circ}]\).

Если на плоскости задан некоторый луч \(OA\) и выбрана полуплоскость относительно прямой \(OA\), то для любого числа из отрезка \([0^{\circ};180^{\circ}]\) в этой полуплоскости существует ровно один угол \(AOB\), градусной мерой которого является это число.

$$ \angle{AOB}=\alpha^{\circ} $$

1. Градусная мера развёрнутого угла равна \(180^{\circ}\). Градусная мера нулевого угла равна \(0^{\circ}\).
2. Если луч \(OC\) проходит между сторонами угла \(AOB\), то градусная мера угла \(AOB\) равна сумме градусных мер углов \(AOC\) и \(BOC\).
3. Градусные меры равных углов равны.

	$$\quad \angle{AOC}+\angle{COB}=\angle{AOB}$$

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными друг к другу лучами.

Теорема о смежных углах. Сумма градусных мер смежных углов равна \(180^{\circ}\).

Углы \(AOB\) и \(COB\) смежные. $$ \alpha+\beta=180^{\circ} $$

Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами к сторонам другого.

Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные. $$ \angle{AOB}=\angle{COD} $$

Угол называется прямым, если он равен смежному с ним углу. Градусная мера прямого угла равна \(90^{\circ}\).

Угол называется острым, если его градусная мера меньше \(90^{\circ}\).

Угол называется тупым, если его градусная мера больше \(90^{\circ}\).

Прямой угол	Острый угол	Тупой угол

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Наряду с понятием угла как фигуры, состоящей из двух лучей с общей вершиной (такой угол называюют линейным), рассматривают также понятие плоского угла. Два луча с общей вершиной разбивают плоскость на две части. Каждая из этих частей вместе с граничными лучами называется плоским углом. Говорят, что эти две части дополняют друг друга до полного угла. По крайней мере один из двух данных плоских углов является объединением линейного угла с его внутренней областью. Второй плоский угол есть объединение линейного угла с остальной частью плоскости. В первом случае говорят, что плоский угол не больше развёрнутого.

Градусная мера плоского угла равна градусной мере соответствующего линейного угла, если данный плоский угол не больше развёрнутого, и дополняет эту градусную меру до \(360^{\circ}\) в противном случае.