«Главная   ›  Справочник по планиметрии   ›  Окружность и круг   ›  Касание и пересечение окружностей и прямых»

Касание и пересечение окружностей и прямых

Взаимное расположение прямой и оружности

Говорят, что прямая и окружность пересекаются, если они имеют ровно две общие точки. В этом случае прямая называется секущей к окружности. Окружность и прямая касаются, если они имеют ровно одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности, а общая точка прямой и окружности – их точкой касания. Прямая и окружность не пересекаются, если они не имеют общих точек.

Пусть \(R\) – радиус окружности \(\omega\) и \(d\) – расстояние от центра окружности \(\omega\) до прямой \(l\). Тогда

\(\quad \quad \omega\) и \(l\) пересекаются \(\, \Leftrightarrow \, d < R\);
\(\quad \quad \omega\) и \(l\) касаются \(\, \Leftrightarrow \, d=R\);
\(\quad \quad \omega\) и \(l\) не пересекаются \(\, \Leftrightarrow \, d > R\).

\(\omega\) и \(l\) пересекаются

\(\omega\) и \(l\) касаются

\(\omega\) и \(l\) не пересекаются

Наверх

Касательная и радиус окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Обратно, если прямая перпендикулярна радиусу, проведённому в общую точку окружности и прямой, то она касается окружности.

Наверх

Свойства касательных из одной точки к окружности

Пусть из точки \(A\) к окружности проведены две касательные \(AB_1\) и \(AB_2\) и \(O\) – центр окружности. Тогда
   1. \(AB_1=AB_2\);
   2. \(AO\) – биссектриса угла \(B_1AB_2\);
   3. \(OA\) – биссектриса угла \(B_1OB_2\).

Наверх

Свойство хорд окружности

Произведение отрезков хорд, проходящих через одну точку внутри окружности, не зависит от выбора хорды и равно \(R^2-d^2\), где \(R\) – радиус окружности, \(d\) – расстояние от этой точки до центра окружности.

$$ CA \cdot CA_1 = CB \cdot CB_1 = R^2-d^2 $$

Наверх

Свойство секущих к окружности

Произведение отрезков секущих, проведённых из одной точки к окружности, не зависит от выбора секущей и равно квадрату длины касательной из этой точки к окружности. Кроме того, это произведение равно \(d^2-R^2\), где \(R\) – радиус окружности, \(d\) – расстояние от данной точки до центра окружности.

$$ CA \cdot CA_1 = CB \cdot CB_1 = CD^2 = d^2-R^2 $$

Наверх