Главная   ›  Справочник по планиметрии   ›  Векторы   ›  Понятие вектора, равенство векторов»

Понятие вектора, равенство векторов


Понятие вектора

Направленный отрезок – это упорядоченная пара точек. Первая точка в паре называется началом направленного отрезка, а вторая – его концом. Каждый направленный отрезок задаёт вектор. Этот вектор обозначается \(\overrightarrow{AB}\), где \(A\) и \(B\) – начало и конец соответствующего направленного отрезка.

Векторы также обозначают одной буквой с чертой или стрелкой, и запись \(\overline{a}=\overrightarrow{AB}\) означет, что направленный отрезок с началом \(A\) и концом \(B\) задаёт вектор \(\overline{a}\).

Равенство направленных отрезков и векторов

Направленный отрезок с началом \(A\) и концом \(B\) равен направленному отрезку с началом \(C\) и концом \(D\) тогда и только тогда, когда середины отрезков \(BC\) и \(AD\) совпадают. Два направленных отрезка задают один и тот же вектор тогда и только тогда, когда они равны.Таким образом, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны тогда и только тогда, когда середины отрезков \(BC\) и \(AD\) совпадают.

Критерий равенства векторов

Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:
   1. \(ABDC\) – параллелограмм;
   2. \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на одной прямой, \(AB=CD\) и лучи \(AB\) и \(CD\) одинаково направлены;
   3. \(A\) совпадает с \(B\), \(C\) совпадает с \(D\).

Откладывание вектора от точки

Для любого вектора \(\overline{a}\) и любой точки \(A\) существует ровно одна точка \(B\) такая, что \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\).