«Главная   ›  Справочник по планиметрии   ›  Метод координат   ›  Прямая на плоскости в координатах

Прямая на плоскости в координатах


Общее уравнение прямой на плоскости

Общим уравнением прямой в декартовой системе координат на плоскости называется уравнение вида \(Ax+By+C=0\), где \(A \neq 0\) или \(B \neq 0\).

Любое уравнение такого вида задаёт прямую, и любую прямую можно задать уравнением такого вида.

Если система координат прямоугольная, то вектор \(\overline{n} = (A,B)\) перпендикулярен данной прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой.

$$ l: \quad Ax+By+C=0 $$ $$ \overline{n} = (A,B) $$

Общее уравнение прямой, проходящей через данную точку перепендикулярно данному вектору

В прямоугольной декартовой системе координат общее уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \(M_0(x_0, y_0)\) перепендикулярно ненулевому вектору \(\overline{n} = (A,B)\) имеет вид

$$ \quad A(x-x_0)+B(y-y_0)=0. $$

Каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором

В декартовой системе координат уравнение прямой \(l\), проходящей через точку \(M_0(x_0, y_0)\) параллельно ненулевому вектору \(\overline{a}=(a_1,a_2)\) имеет вид

$$ \dfrac{x-x_0}{a_1}=\dfrac{y-y_0}{a_2}. $$

Другая форма: \(a_2(x-x_0)-a_1(y-y_0)=0.\)


Ненулевой вектор, параллельный данной прямой или лежащий на ней, называется направляющим вектором этой прямой.

Параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором

В декартовой системе координат уравнения прямой \(l\), проходящей через точку \(M_0(x_0, y_0)\) параллельно ненулевому вектору \(\overline{a}=(a_1,a_2)\) имеют вид

$$ \left\{\begin{array}{c}x=x_0+a_1t, \\ y=y_0+a_2t. \end{array}\right. $$

Точка \(M(x,y)\) лежит на прямой \(l\) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют данной системе при некотором \(t \in \mathbf{R}\).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение вида \(y=kx+b\) задаёт в прямоугольной декартовой системе координат прямую \(l\), не параллельную оси ординат. Число \(k\) называется угловым коэффициентом прямой \(l\). Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой \(l\) к положительному направлению оси абсцисс. Угол наклона отсчитывают от этой оси до прямой \(l\) против часовой стрелки. Если прямая \(l\) параллельна оси абсцисс или совпадает с нею, то угол наклона считается нулевым.

Коэффициент \(b\) равен ординате точки пересечения прямой \(l\) с осью ординат.


$$ k=\tg{\alpha} $$